Question

等价无穷小（Taylor公式的运用一）

Answer 1

提出问题 ：

当X→0时

tanX-sinX~？

分析问题 ：

倘若用泰勒公式分别展开tanX与sinX，即可得解

解决问题 ：

（一）泰勒公式

由导数定义

=lim =f’（x）

同理，若f（x）在a点有导数

= f’（a）=lim ，当a=0时

整理得

(二）tanX展开式

key：tanx的导数

tanx=sinX*cosX^(-1)

tan'X=cosX*cosX^(-1)+sinX^2/cosX2=1+tanx^2=(secX)^2

tan'(0)=1

tan''X=(1+tanX^2)'=2tanX*(secX)^2,tan''(0)=0

tan‘’‘X=2*(（secX)^4+2tanx*某数（因为tan（0）=0）

tan’‘’（0）=2

最终

tanX~x+ + +o（X）

（三）sinX的展开式

sin‘X=cosX

sin’（0）=cos（0）=1

sin‘’X=cos‘X=-sinX

sin’‘（0）=0

sin’‘’X=-cosX

sin‘’‘（0）=-1……

最终

sinX~x- + ……

（四）差函数

tanX-sinX~ + =