Question

已知f(x)是定义域[-1,1]上的偶函数,且x∈[-1,0]时,f(x)=x/(x^2+1)

求f(x)的表达式，并求出函数在[0,1]上的单调性

Answer 1

设x∈[0,1],则-x∈（-1,0],
从而有f(-x)=-x/(x²-1),
因为f(x)是定义域（-1,1）上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
即x∈[0,1)时,f(x)=-x/(x²-1),

设x1，x2∈[0,1﹚，且x1＜x2
f﹙x1﹚－f﹙x2﹚＝[x1／﹙x1²－1﹚]－[x2／﹙x2²－1﹚]
＝﹙x2－x1﹚﹙x1x2＋1﹚／﹙x1²－1﹚﹙x2²－1﹚
∵x1，x2∈[0,1﹚
∴x1x2＋1＞0
﹙x1²－1﹚﹙x2²－1﹚＞0
∴f﹙x1﹚－f﹙x2﹚＞0
f﹙x1﹚＞f﹙x2﹚
∴f(x)=-x/(x²-1)在[0,1)上单调递减

追问

你拉错了吧··我要的是f(x)=x/(x^2+1)··中间是加号···

追答

设x∈[0,1],则-x∈[-1,0],
从而有f(-x)=-x/(x²+1),
因为f(x)是定义域[-1,1]上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
即x∈[0,1]时,f(x)=-x/(x²+1)

设x1，x2∈[0,1]，且x1＜x2
f﹙x1﹚－f﹙x2﹚＝[x1／﹙x1²＋1﹚]－[x2／﹙x2²＋1﹚]
＝（x1²－x2²＋x1－x2﹚／﹙x1²＋1﹚﹙x2²＋1﹚
∵x1，x2∈[0,1]
∴x1²－x2²＋x1－x2＜0
﹙x1²＋1﹚﹙x2²＋1﹚＞0
∴f﹙x1﹚－f﹙x2﹚＜0
f﹙x1﹚＜f﹙x2﹚
∴f(x)=-x/(x²＋1)在[0,1]上单调递增

追问

f（0）=0
f（1/2）=-2/5
f（1）=-1/2
这是单调增吧··
我发现我好傻呀··
这个到底是···

追答

设x∈[0,1],则-x∈[-1,0],
从而有f(-x)=-x/(x²+1),
因为f(x)是定义域[-1,1]上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
即x∈[0,1]时,f(x)=-x/(x²+1)

设x1，x2∈[0,1]，且x1＜x2
f﹙x1﹚－f﹙x2﹚＝[x1／﹙x1²＋1﹚]－[x2／﹙x2²＋1﹚]
＝（x1²－x2²＋x1－x2﹚／﹙x1²＋1﹚﹙x2²＋1﹚
＝﹙x1＋x2﹚﹙x1－x2﹚²／﹙x1²＋1﹚﹙x2²＋1﹚
∵x1，x2∈[0,1]
∴﹙x1＋x2﹚﹙x1－x2﹚²＞0
﹙x1²＋1﹚﹙x2²＋1﹚＞0
∴f﹙x1﹚－f﹙x2﹚＞0
f﹙x1﹚＞f﹙x2﹚
∴f(x)=-x/(x²＋1)在[0,1]上单调递减

Answer 2

设x属于【0,1】，那么-x就属于【-1,0】,将-X带入f(x)=x/(x^2+1)得f(-x)=-x/(x^2+1),故f(x)=f(-x)=-x/(x^2+1) x属于【0,1】。单调性自己用导数或定义做一下即可。答案也自己组织一下