已知f(x)是定义域[-1,1]上的偶函数,且x∈[-1,0]时,f(x)=x/(x^2+1)
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设x∈[0,1],则-x∈(-1,0],
从而有f(-x)=-x/(x²-1),
因为f(x)是定义域(-1,1)上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
即x∈[0,1)时,f(x)=-x/(x²-1),
设x1,x2∈[0,1﹚,且x1<x2
f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=[x1/﹙x1²-1﹚]-[x2/﹙x2²-1﹚]
=﹙x2-x1﹚﹙x1x2+1﹚/﹙x1²-1﹚﹙x2²-1﹚
∵x1,x2∈[0,1﹚
∴x1x2+1>0
﹙x1²-1﹚﹙x2²-1﹚>0
∴f﹙x1﹚-f﹙x2﹚>0
f﹙x1﹚>f﹙x2﹚
∴f(x)=-x/(x²-1)在[0,1)上单调递减
从而有f(-x)=-x/(x²-1),
因为f(x)是定义域(-1,1)上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
即x∈[0,1)时,f(x)=-x/(x²-1),
设x1,x2∈[0,1﹚,且x1<x2
f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=[x1/﹙x1²-1﹚]-[x2/﹙x2²-1﹚]
=﹙x2-x1﹚﹙x1x2+1﹚/﹙x1²-1﹚﹙x2²-1﹚
∵x1,x2∈[0,1﹚
∴x1x2+1>0
﹙x1²-1﹚﹙x2²-1﹚>0
∴f﹙x1﹚-f﹙x2﹚>0
f﹙x1﹚>f﹙x2﹚
∴f(x)=-x/(x²-1)在[0,1)上单调递减
更多追问追答
追问
你拉错了吧··我要的是f(x)=x/(x^2+1)··中间是加号···
追答
设x∈[0,1],则-x∈[-1,0],
从而有f(-x)=-x/(x²+1),
因为f(x)是定义域[-1,1]上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
即x∈[0,1]时,f(x)=-x/(x²+1)
设x1,x2∈[0,1],且x1<x2
f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=[x1/﹙x1²+1﹚]-[x2/﹙x2²+1﹚]
=(x1²-x2²+x1-x2﹚/﹙x1²+1﹚﹙x2²+1﹚
∵x1,x2∈[0,1]
∴x1²-x2²+x1-x2<0
﹙x1²+1﹚﹙x2²+1﹚>0
∴f﹙x1﹚-f﹙x2﹚<0
f﹙x1﹚<f﹙x2﹚
∴f(x)=-x/(x²+1)在[0,1]上单调递增
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