Question

第5题（高等数学收敛准则）

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Answer 1

（1）x1=2^(1/2)
x2=[2x1]^(1/2)=[2×2^(1/2)]^(1/2)=[2^(1+1/2)]^(1/2)=2^(1/2+1/4)
x3=2^(1/2+1/4+1/8)
xn=2^(1/2+1/4+1/8+...+1/2^n)=2^[(1/2)(1-(1/2)^n)/(1-1/2)]=2^(1-(1/2)^n)
n-->+∞，指数-->1,xn-->2
x收敛，f(t)连续，则f(x)也收敛；
（2）
x1=1
x2=1+1/（1+1）=1+1/2=3/2
x3=1+（3/2）/（1+3/2）=1+（3/2）/（5/2）=1+3/5=8/5
x(n+1)=1+xn/（1+xn）=1+1/（1+1/xn）
0<（x(n+1)-1)=xn/（1+xn）<1
x1=1,1<x2=1+1/2<2
1<xn+1=1+1/（1+1/xn）<1+1/（1）=2
x(n+1)有界。
xn/（x(n+1)-1)=（1+xn）>1
xn>x(n+1)-1
x(n+1)<xn+1
x(n+1)=1+xn/（1+xn）对xn求导：
x'(n+1)=[(xn+1)-xn]/（1+xn）²=1/（1+xn）²>0,
x(n+1)单调递增。
因此必有极限，收敛。

Answer 2

=√（n^2+n^2）/n^2=√(n^2/n^2+n^2/n^2)=√(1+n^2/n^2)=√(1+0)=1

Answer 3

先发第一题好吗

追答

追问

一直根号下去不是应该递减吗

追答

不是的

用数学归纳法证明

明显x2大于x1

x3大于x2

所以先假设xn大于xn-1

追问

哦，我看错了，原来还有个2倍

数学归纳法后面那里是小于根号下2倍X2吗

还是2乘2

追答

＜根号(2*2)

累屎了，求采纳