Question

已知函数在f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当x∈(0,1)，有f(x)=（2^x）/（2^x+1）

证明1、函数f（x）在（0，1）是增函数
2、求f（x）在（-1,1）上的解析式

Answer 1

(1)0<X1<X2<1时，
f(x1)-f(x2)= 2^x1/(2^x1+1)- 2^x2/(2^x2+1)
=(2^x1•(2^x2+1)- 2^x2•(2^x1+1))/[ (2^x1+1) (2^x2+1)]
=[(2^x1- 2^x2)] /[ (2^x1+1) (2^x2+1)]
因为0<X1<X2，所以0<2^x1< 2^x2
故f(x1)-f(x2)<0 f(x1)<f(x2)
f(x)在（0，1）上是增函数。

（2）x∈(-1，0)时，-x∈(0,1).
f(-x)=2^(-x)/(2^(-x)+1)……分子分母同乘以2^x可得下式
=1/(2^x+1)
∴f(x)=- f(-x) =- 1/(2^x+1) (x∈(-1，0))
对于奇函数来说，f(-x)=- f(x)
∴f(-0)=- f(0) f(0)=0
综上知x∈(0,1)时，f(x)=2^x/(2^x+1)
X=0时，f(0)=0
x∈(-1，0)时，f(x)= -1/(2^x+1)