Question

简单函数问题

函数f(x)=1/2x^2+x+ainx(a属于r）
1）若函数f(x)在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围
2）讨论函数f(x)在（0，1）的极值点个数
3）当m≥1时，不等式f(2m-1)≥2f(m)-f(1)恒成立，求实数a的取值范围

麻烦大家写详细详细一点啊，谢谢各位了。

Answer 1

定义域为：x>0
f'(x)=x+1+a/x=1/x* (x^2+x+a)=1/x* [(x+1/2)^2+a-1/4]
1)在（0，1）上，有f'(x)>0
因此g(x)=(x+1/2)^2+a-1/4的最小值g(0)=a>0
2)由f'(x)=0, 得g(x)=x^2+x-a=0,
delta=1+4a>=0时，即a>=-1/4时才可能有极值点
两根和为-1<0,因此必有负根。若在（0，1）上有根，则最多只有一根。此时：g(0)=-a<0, g(1)=2-a>0, 即：0<a<2
故0<a<2时，有一个极值点在（0，1），否则无极值点。
3）f(2m-1)>=2f(m)-f(1)
1/2 (2m-1)^2+2m-1+aln(2m-1)>=m^2+2m+2aln(m)-3/2
aln(2m-1)-(2m-1)>=alnm^2-m^2
因2m-1<m^2,
g(x)=alnx-x 在x>=1时为减函数, g'(x)=a/x-1<=0,
a<=0显然符合， a>0时，g'(x)的最大值为g'(1)=a-1<=0. 得a<=1
因此综合得：a<=1

追问

http://zhidao.baidu.com/question/370260157.html?oldq=1
麻烦老师，看下这道题，谢谢

Answer 2

1〉f'(x)=x+1+a/x=(x^2+x+a)/x>=0在(0，1)恒成立 即g(x)=x^2+x+a>=0在(0，1)上恒成立g(x)的对称轴 直线x=-1/2所以g(x)min>g(0)=a>=0 2〉g(0)=ag(1)=2+a 1)a<=-2.g(x)<=0即f'(x)<=0在(0,1)恒成立无极值 2)-2<a<0.g(x)=0在(0,1)有解即有极值 3)a>=0.g(x)>=0即f'(x)>=在(0,1)恒成立无极值 综上当a<=-2,a>=0无极值当-2<a<0有一极小值