Question

等差数列{a(n)}中，a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15.（1）求前n项和Sn。（2）当n为何值时，Sn有最大值。

Answer 1

在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15
(1)求前n项和Sn
解：
因为an是等差数列，所以S10=(a1+a10)*10/2=(2a1+9d)*5=10a1+45d
S15=(a1+a15)*15/2=(2a1+14d)*15/2=15a1+105d
因为S10=S15
所以10a1+45d=15a1+105d
60d=-5a1
d=-a1/12
因为a1=20，所以d=-5/3
an=20-5(n-1)/3=65/3-5n/3
Sn=(20+65/3-5n/3)*n/2=125n/6-5n²/6

(2)当n为何值时,Sn有最大值?并求出它的最大值
解：
Sn=125n/6-5n²/6
=-5/6*(n²-25n)
=-5/6*(n²-25n+625/4)+3125/24
=-5/6*(n-25/2)²+3125/24
显然n=25/2时，Sn最大，但是n是整数，所以比较当n=12，和n=13时，Sn的大小
当n=12时，Sn=125*12/6-5*12²/6=130
当n=13时,Sn=125*13/6-5*13²/6=130
所以当n取12，或者13的时候，Sn有最大值，最大值为130

Answer 2

解：（1）由题意可知： S10=10a1+10×92d， S15=15a1+15×142d
∵a1=20，S10=S15即10a1+45d=15a1+105d
解得： d=-53
∴ an=-53n+653；（6分）
（2）由（1）知Sn=na1+ n(n-1)2d= -56n2+1256n
因为 Sn=-56(n-252)2+312524
所以n=12，13时，Sn取得最大值．（12分）

Answer 3

（1）∵sn=na1+n(n-1)d/2；∴s10=200+45d=s15=300+105d，解得d=-5/3；∴sn=20n-5n(n-1)/6=-5(n-12.5)^2/6+3125/24
（2）由（1）可知，当n=12.5时，有最大值，且最大值为sn=3125/24≈130.21；∵n∈N﹢，∴n=12时，sn=240-5×12×11/6=130，n=13时，sn=260-5×13×12/6=130；∴当n=12或n=13时，sn有且最大值为130。