Question

平面图形与立体图形的神奇

Answer 1

  平面图形和立体图形，他们中间也是有很多奥秘的，在三四年级的时候我们探究后，得知了一个长方形它的周长不变，如果它的长和宽差距越大，它的面积就越小，如果越接近面积就越大，如果正好是一个正方形的时候面积就最大。到了六年级的时候，几何方面学习的是立体图形，那么一个立体图形它的体积也和平面图形拥有同样的规律吗？

  如题：

下面有四个长方形，面积都是一样的。圆柱体可以围成，就是用一个长方形将他的一组对边接到一起，此时围成的就是一个圆柱的侧面，，当然还要加上上底面和下底面。这个时候围成这个圆柱体侧面的长方形面积都一样，但是长和宽却各不相同。那么究竟围成的哪一个圆柱体体积更大，哪一个更小呢？我们可以分别将它们的体积计算出出来——如图：

把它们的体积分别对比一下，可以得出——1＞2＞3＞4。1号的体积最大，4号的体积最小。我发现了一件很神奇的事，长方形的长和宽差距越大，所围成的圆柱体体积就越大，如果长方形的长和宽差距越小，那么体积就越小。这又让我联想起了，原来我们说平面图形的面积的时候，一个长方形它的周长不变，如果它的长和宽差距越大，它的面积就越小，如果越接近面积就越大，如果正好是一个正方形的时候面积就最大。两者一对比，发现正好相反。原来我一直感觉立体图形也和平面图形个规律一样，谁知道他们竟然是相反的！

  那么这样的规律适用于所有的情况吗？一个长方形的周长不变，长和宽差距越大，面积越小，差距小则反之。我们只是通过了几个事例发现了这种规律不一定是普遍使用，还需要证明。如图：

我们可以先假设一个长方形，还有一个和它周长一样的正方形，如图：

正方形的边长可以用x来表示，他的面积是x的平方，也就是S1。长方形的长是b，宽是a，面积是ab，也就是S2。现在我们为了验证正方形的面积大于长方形的面积，可以用S1减去S2，看结果是否大于0，如果大于0说明正方形面积大于长方形面积，小于0就说明我们的猜想错误了。但这时遇到了一个问题，x²-ab，根本看不出来结果，这里有两组未知数。我想到了一个方法，可以把x用ab的形式代表，这样就可以运算了。那么它们之间有什么联系呢？我想了一下，发现2x不就是a+b吗，都是周长的一半，那么x=（a+b）÷2这个式子就出来了，x²就等于（a+b）÷2×（a+b）÷2，也就等于（a+b）/2×（a+b）/2，得到了（a+b）²/4。这时，我试着将两个面积相减：（a+b）²/4-ab，但也不知道结果是否大于0。那么，可不可以试着把ab移到（a+b）²的地方，这样算出来就可以直接得到一个分数了。可是要怎么做到呢？首先要吧ab也变成一个分数，还要保持大小不变，可以得到ab/1，但是（a+b）²/4-ab-ab/1也算不出来，必须让他们的分母一样才可以，这很简单、直接让ab/1的分子分母同时乘4就可以了，也就是4ab/4，这时（a+b）²/4-4ab/4就直接变成了（a+b）²-4ab/4，只用吧（a+b）²-4ab算出来就可以。我们可以吧（a+b）²拆分一下，这样更方便算。（a+b）×（a+b）就等于a×（a+b）+b×（a+b），就是a²+2ab+b²，a²+2ab+b²-4ab=a²-2ab+b²，但这样还是不行，最终我爸说再化简就是（a-b）²，最终就是（a-b）²/4，那么到底大于0吗？a和b都是自然数，（不等于0）相减等于自然数或者负数，自然数的平方÷4自然大于0。如果是负数就负负得正了，最终也会得到一个大于0得数，所以证明了S1＞S2。猜想是正确的。

  那么围成圆柱体长方形的长和宽差距越大，所围成的圆柱体体积就越大，如果长方形的长和宽差距越小，那么体积就越小。这个猜想怎么证明？我目前还没有想出来，所以还不能说这是一定正确的，但是以后等到学了更多的知识，我还会继续证明的。

  我们之前所说的那个猜想，就是长方形的长和宽差距越大，所围成的圆柱体体积就越大，如果长方形的长和宽差距越小，那么体积就越小。这个规律适用于所有的立体图形吗？我们可以看一下长方体和正方体。我改变一下，变成不只是它的侧面积相同，整个表面积也相同，这个时候它的体积又有怎样的规律呢？我们可以先举几个特例来看一看。如图：

我们可以先假设一个正方体，其中一个面的边长是10，它的表面积就是600。再算一下，就可以得到这个正方体的体积就是1000。接着我又举了几个例子，是长方体。它们的表面积同样也是600。这个时候再分别算一下它们的体积，一个是792，一个是687.5。将这几个不同的立体图形的体积对比一下可以得到：1000＞792＞687.5。我发现这个立体图形其中一个面的长和宽差距越大，它的体积就越小。长宽越接近，体积就越大，当是一个正方形的时候，它的体积最大。看来这个规律，也适用于别的立体图形。