平面内n点任意三点不共线可组成n(n-1)(n-2)/6个三角形的推理过程
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首先想三角形的生成过程,一条线段和不与该线段共线的一点可构成一个三角形,平面内n个点,每个点作为起始端点与其他n-1个点各可连成n-1条线段,共有n(n-1)条,但是线段的两个端点各做了一次起始端点,每条线段被算了两次,故平面内线段总数应为n(n-1)/2
问题得到简化,同样的思路,每条线段作为起始边与其他n-2个点各可组成n-2个三角形,共n(n-1)(n-2)/2个,但是三角形三边各做了一次起始边,即每个三角形被算了三次,应为上述总数除以3,故最终可形成的三角形个数为
n(n-1)(n-2)/2/3=n(n-1)(n-2)/6
问题得到简化,同样的思路,每条线段作为起始边与其他n-2个点各可组成n-2个三角形,共n(n-1)(n-2)/2个,但是三角形三边各做了一次起始边,即每个三角形被算了三次,应为上述总数除以3,故最终可形成的三角形个数为
n(n-1)(n-2)/2/3=n(n-1)(n-2)/6
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