Question

已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x=-1的距离．？

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由题意得 (x−1 ) 2 + y 2 ＝|x+1| ，由此能求出点M的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则点P的坐标为 ( x 1 + x 2 2 ， y 1 + y 2 2 ) ．由题意可设直线l 1的方程为y=k（x-1）（k≠0），由 y 2 ＝4x y＝k(x−1) 得k 2x2-（2k 2+4）x+k 2=0．再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
（Ⅲ）题题设能求出|EF|=2，所以△FPQ面积 S＝ 1 2 |FE|( 2 |k| +2|k|)＝2( 1 |k| +|k|)≥4 ．
（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），
由题意得，
(x−1)2+y2＝|x+1|，
化简得y2=4x，
所以点M的轨迹C的方程为y2=4x．（4分）
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则点P的坐标为(
x1+x2
2，
y1+y2
2)．
由题意可设直线l1的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由

y2＝4x
y＝k(x−1)得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
△=（2k2+4）2-4k4=16k2+16＞0．
因为直线l1与曲线C于A，B两点，
所以x1+x2=2+[4
k2，
y1+y2=k（x1+x2-2）=
4/k]．
所以点P的坐标为(1+
2
k2，
2
k)．
由题知，直线l2的斜率为−
1
k，同理可得点的坐标为（1+2k2，-2k）．
当k≠±1时，有1+
2
k2≠1+2k2，
此时直线PQ的斜率kPQ=

2
k+2k
1+
2
k2−1−2k2＝
k
1−k2．
所以，直线PQ的方程为y+2k＝
,3,已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x=-1的距离．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l 1，l 2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．