Question

已知二次型f（x1，x2，x3）=5x21+5x22+cx23−2x1x2+6x1x3−6x2x3_ 的秩为2？

Answer 1

解题思路：求二次型的矩阵的特征值，首先要写出矩阵，然后计算特征行列式，得出特征值
而二次型表示何种曲面，这就需要把二次型化为标准型，以此来判断．
（1）
由二次型的矩阵为A：
A=

5−13
−15−3
3−3c→

−15−3
024−12
012c−9，
A的秩为2，所以：c-9=-6，即：c=3，
矩阵A的特征多项式为：

.
λE−A.=
.
λ−51−3
1λ−53
−33λ−3.=λ（λ-4）（λ-9），
于是A的特征值为：λ1=0，λ2=4，λ3=9．

（2）
由矩阵的特征值可知，二次型的标准型为：
f（y1，y2，y3）=4y22+9y32，
而
,1,已知二次型f（x 1，x 2，x 3）= 5 x 2 1 +5 x 2 2 +c x 2 3 −2 x 1 x 2 +6 x 1 x 3 −6 x 2 x 3 _ 的秩为2，
（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值．
（2）指出方程f（x 1，x 2，x 3）=1表示何种二次曲面．