Question

求一道高中数学求轨迹方程题的细节问题

经过原点的直线l与圆x^2+y^2-6x-4y+9=0相交于两个不同点A,B求线段AB的中点M的轨迹方程。
最后我算出M（(3+2k)/(1+k^2),(3k+2k^2)/(1+k^2)）为什么不能说M轨迹就是y=kx？
还有M轨迹的取值范围怎么求？

Answer 1

M（(3+2k)/(1+k^2),(3k+2k^2)/(1+k^2)）只能说明参数方程是X=（3+2k)/(1+k^2)，Y=(3k+2k^2)/(1+k^2)  需要消参。两式联立，将y=kx带入X=（3+2k)/(1+k^2)，得x^2+y^2-3x-2y=0  。将直线方程y=kx与圆方程联立后 根据△>0 得  0<k<12/5 从而求得x的取值范围

Answer 2

解释：M只是动直线y=kx上的一个点(它不能代表直线），当直线运动时，M随之移动，从而产生了M的轨迹。由于k是参数（变量），不能说y=kx是M的轨迹，只能说M的坐标适合y=kx。
还有，本题用“点差法”较为简单。设直线方程为 y=kx
设 M(x,y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1≠x2
则x1+x2=2x，y1+y2=2y，且
x1^2+y1^2-6x1-4y1+9=0 （1）
x2^2+y2^2-6x2-4y2+9=0 （2）
（2）-（1），得
(x2-x1)(x1+x2)+(y2-y1)(y1+y2)-6(x2-x1)-4(y2-y1)=0
两边同除以x2-x1，得
x1+x2 +(y1+y2) (y2-y1)/(x2-x1)-6 -4(y2-y1)/(x2-x1)=0
即 2x+2ky -6-4k=0
而M在直线y=kx上，所以 k=y/x (x≠0)
从而 2x+2y^2/x -6 -4y/x=0
x^2 +y^2 -3x-2y=0

追问

能不能帮我算下M的范围，我看到好多人算的都不一样

追答

算纵坐标的好些。M的轨迹是圆x^2 +y^2 -3x-2y=0被已知圆截得的一段弧。
易知已知圆x^2+y^2-6x-4y+9=0与x轴相切（切点为A），从而 y≥0，
由于直线l与圆有两个交点，所以 y>0
过原点作圆的另一条切线，设切点为B，两个切点关于直线2x-3y=0对称
从而可求得B的纵坐标为36/13，
所以 0<y<36/13
当然，不解方程，用三角公式也可以求B到x轴的距离。设直线2x-3y=0的倾斜角为α
则tanα=2/3，而OB的倾斜角为2α，求得tan2α=12/5，所以 sin2α=12/13，
又切线长|OB|=3，从而B到x轴的距离为|OB|sin2α=36/13.

追问

但是好像如果只有y范围的话，那就可以取y轴左边的部分了，我觉得应该都要求。。。

追答

当然，还要求出x的范围。由前，求得B的横坐标为15/13，
也可用三角函数求B到y轴的距离为 |OB|cos2α=15/13.
把x^2 +y^2 -3x-2y=0化成标准方程，得(x-3/2)^2+(y-1)^2=13/4
从而 15/13<x<(3+√14)/2

Answer 3

不能说M轨迹就是y=kx，还应该消去参数K，得x^2+y^2-3x-2y=0
又因为相交于两个不同点A,B，所以判别式（4k+6)^2-36（1+k^2)>0得0<k<12/5
所以X，y都应该有范围由x=(3+2k)/(1+k^2)及0<k<12/5可以得出范围。
另一方面可以从点M必须在圆内部可知只能取轨迹x^2+y^2-3x-2y=0落在圆x^2+y^2-6x-4y+9=0内部的部分。

Answer 4

你可以画图 随便画出两条过原点的直线， 一看就明白了。 至于范围，M肯定在AB直线上，A和B都是圆上的点 所以M的范围就是过原点的直线与圆的两个切点的范围。

Answer 5

Y2＋X2－2Y－3X＝0 K∈（0，12/5）
自己计算的