Question

已知椭圆3x^2+4y^2=12 且过左焦点F1的直线与椭圆有AB两点且S△AF2B的面积为 12√2/7求直线L的方程

Answer 1

改写椭圆方程，得：x^2/4＋y^2/3＝1。
∴c＝√（4－3）＝1，∴椭圆的左右焦点分别是F1（－1，0）、F2（1，0）。
∴｜F1F2｜＝2。
令直线 l 的斜率为k，则AB的方程是y＝k（x＋1）＝kx＋k。
∴可设A、B的坐标分别是（m，km＋k）、（n，kn＋k）。

联立：x^2/4＋y^2/3＝1、y＝kx＋k，消去y，得：x^2/4＋（kx＋k）^2/3＝1，
∴3x^2＋4k^2（x＋1）^2＝12，∴3x^2＋4k^2x^2＋8k^2x＋4k^2－12＝0，
∴（3＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－12＝0。
显然，m、n是方程（3＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－12＝0的两根，∴由韦达定理，有：
m＋n＝－8k^2/（3＋4k^2）、mn＝（4k^2－12）/（3＋4k^2）。

不失一般性，令A在x轴的上方，则B在x轴的下方，得：km＋k＞0、kn＋k＜0。
∴△AF2B的面积＝△AF1F2的面积＋△BF1F2的面积＝12√2/7，
∴（1/2）｜F1F2｜｜km＋k｜＋（1/2）｜F1F2｜｜kn＋k｜＝12√2/7，
∴｜km＋k｜＋｜kn＋k｜＝12√2/7，
∴km＋k－（kn＋k）＝12√2/7，
∴k（m－n）＝12√2/7，
∴k√［（m＋n）^2－4mn］^2＝12√2/7，
∴k^2［（m＋n）^2－4mn］^2＝144×2/49，
∴k^2｛［－8k^2/（3＋4k^2）］^2－4（4k^2－12）/（3＋4k^2）｝＝144×2/49，
∴49k^2［64k^4－4（4k^2－12）（3＋4k^2）］＝144×2（3＋4k^2）^2，
∴49k^2［16k^4－（4k^2－12）（3＋4k^2）］＝72（3＋4k^2）^2，
∴49k^2（16k^4－12k^2－16k^4＋36＋48k^2）＝72（3＋4k^2）^2，
∴49k^2（36＋36k^2）＝72（3＋4k^2）^2，
∴49k^2（1＋k^2）＝2（3＋4k^2）^2，
∴49k^2＋49k^4＝2（9＋24k^2＋16k^4），
∴17k^4＋k^2－18＝0，
∴（17k^2＋18）（k^2－1）＝0，
∴k^2＝1，∴k＝1或k＝－1。

由k＝1，得 l 的方程是y＝x＋1，即：x－y＋1＝0。
由k＝－1，得 l 的方程是y＝－x－1，即：x＋y＋1＝0。
∴满足条件的直线 l 的方程有两个，分别是：①x－y＋1＝0；②x＋y＋1＝0。

Answer 2

学过极坐标吗？取左焦点F1（-1，0）为极点，正X方向为极轴，
椭圆方程为P(这是柔，打不出来用P代替）=ep/(1-ecosα),
其中e=c/a，p=a^2/c-c
S=1/2*2*sinα*P(A)*P(B)(把AB的极径长代入，把α算出来）
得到(tan^2)α=1,
转回直角坐标，得到直线方程x-y+1=0或x+y+1=0
普通算法上面的回答已经非常完整，在此不多说了。