Question

为什么n阶可逆矩阵一定要有一个秩？

Answer 1

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵

|AB O|

|O En|

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有

|AB A|

|0 En|

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有

|0 A   |

|-B En|

所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)

即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

特别规定零矩阵的秩为零。

A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

显然rA≤min(m，n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m，n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵， det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。