Question

已知函数f(x)=|xe^x|,方程f(x)^2+tf(x)+1=0(t属于R)有四个实数根,求t的取值范围

Answer 1

注意到y=xe^x,y'=(x+1)e^x,
在x<-1时,y'<0,y=xe^x递减;
在x>-1时,y'>0,y=xe^x递增.
x=-1时,y=-1/e;x=0时,y=0;x趋于负无穷时,y趋于0;x趋于正无穷时,y趋于正无穷.可以画出草图.
然后可以画出f(x)=|xe^x|的草图.
注意到,f(x)=w时,根据w取值的不同,x可能取值也不同.
当w<0时,无解;当w=0时,有1个根;
当0<w<1/e时,有3个根;当w=1/e时,有2个根;
当w>1/e时,只有一个根. ...............(*)
而方程f(x)^2+tf(x)+1=0有四个实数根.
设医院二次方程z^2+tz+1=0的两根为w1,w2.
有w1*w2=1>0,由(*)知,w1≠w2(否则不可能有4个实根),且w1>0,w2>0,不妨设w1>w2
只可能有w1>1/e且0<w2<1/e,w1=1/w2>e
-t=w1+w2=w2+1/w2＞e,t<-e
又由韦达定理,△=t^2-4>0,t<-2
综上,有t<-2.

追问

答案为(-(e^2+1)/e,-2)

追答

t是没有下界的.取t=-(n+1/n)
那么一元二次方程的两根为n和1/n
n很大时,比如n>1000,那么f(x)=1/n有3个根
f(x)=n只有一个根.共4个根....

追问

| |绝对值对函数没影响吗?

Answer 2

fx恒大于等于0吧？
那么要有四个根f(x)^2+tf(x)+1=0把fx设为m的话就要有两个不相同正根才可能让函数有四个实根
首先t2-4大于0
其次t小于0，伟达定理，两根之和大于零
推出t小于-2

追问

答案为(-(e^2+1)/e,-2)

追答

额，低估了这道题了
先画f(x)=|xe^x|,的图像
x大于零时是递增的，x小于零时从无穷开始先递增后面递减
有一个最大值
求一下导可知x=-1时，那个值是最大的等于e分之1
所以m2+tm+1=0要有一个根在（0，e分之1）上，一个在大于e分之1上，就可以保证有四个根
所以得出f（e分之1）小于0，f（0）大于0
就可以得出t小于-(e^2+1)/e，你那个答案我觉得不对

追问

恩,你应该是对的,这是道选择题

Answer 3

这个简单多了吧？
|xe^x|是偶函数单调性很简单，四个实数根就是要f(x)^2+tf(x)+1=0有两个大于0
的零点
那就是对称轴大于0，判别式大于0
就是t小于-2