Question

设f(x)的定义域为（0，正无穷），对于任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n)且当x＞1时，f(x)＞0，f(1/2)=-1

1.求f(2)
2.求证f(x)在（0，正无穷）上是增函数
3.解关于x的不等式f(x)≥2+f(p/x-4),其中p＞-1

Answer 1

1.f(2)=f(4*(1/2))=f(4)+f(1/2)=f(2)+f(2)+f(1/2)=2f(2)-1，所以f(2)=1
2.任意取x1<x2∈（0，+∞）
则△x=x2-x1>0，△y=f(x2)-f(x1)=f[x2/x1)*x1]-f(x1)=f(x2/x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2/x1)，因为x2/x1>1，所以f(x2/x1)>0，即△y>0，所以增函数。
3.因为f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2
所以f(x)≥2+f(p/x-4)，即f(x)≥f(4)+f(p/x-4)=f[4(p/x-4)]，
所以x≥4[p/x-4]，x²-16x-4p≥0，x²-16x+64≥64+4p
因为p>-1，所以64+4p>60，所以x≥8+2√(16+p)或x≤8-2√(16+p)