Question

已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），其中a为常数．

若x∈[0，2]时，函数g（x）=f（x）+f '（x）在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．
求过程
已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），其中a为常数．
若x∈[0，2]时，函数g（x）=f（x）+f '（x）在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=ax3-3x2，∴f'（x）=3ax2-6x，
∵x=1是f（x）的一个极值点，∴f'（1）=3a-6=0，
∴a=2．
（II）g（x）=ax3+3（a-1）x2-6x（a＞0）
g'（x）=3ax2+6（a-1）x-6，△=36（a-1）2+72a=36（a2+1），
∴f'（x）=0有两个实根，设这两个实根为x1，x2，
则 x1x2=-2a＜0，
设x1＜0＜x2，当0＜x2＜2时，g（x2）为极小值，
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x2≥2时，g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）的最大值为g（0），
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2），
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（2），
即 0≥20a-24，解得a≤65，∴ 0＜a≤65

Answer 2

解：∵f（x）=x2（ax-3）=ax3-3x2，∴f'（x）=3ax2-6x，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=ax3+（3a-3）x2-6x
∴g'（x）=f'（x）=3ax2+6（a-1）x-6，令g'（x）=0，x= 1-a±a2+1a
由于 1-a-a2+1a＜0， 1-a+a2+1a＞0
又g（0）=0，g（2）=20a-24，
当0＜ 1-a+a2+1a≤2时， a≥34，由于g（x）在区间[0，2]先减后增，当g（0）=0＞g（2）=20a-24时，a＜ 65
∴ 34≤a＜ 65
当 1-a+a2+1a＞2即a＜ 34时，由于g（x）在区间[0，2]减，显然有g（0）=0＞g（2）=20a-24成立，解得a＜ 65
∴a＜ 34
综上所述， 0＜a＜65
故答案为： 0＜a＜65

Answer 3

g（x）=f（x）+f '（x）
g'（x）=3ax²+6ax-6x-6
g'（0）=-6<0 且在x=0处取得最大值
故g'（0）<0在若x∈[0，2]时恒成立
a<1/((x+1/2)-1/(2x+2))
不等号右边单调递减故x=2时
a<3/4

Answer 4

a小于四分之三

Answer 5

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