Question

概率论数理统计

设ξ与η是同一个概率空间（Ω,F,P）的随机变量，证明{ω:ξ(ω)=η(ω)}∈F

Answer 1

那个集合记为A，R表示实数集，Z表示整数集，N表示正整数集
A=∪_{x∈R}(ξ^{-1}{x}∩η^{-1}{x})
=∩_{n∈N}[∪_{i∈Z}(ξ^{-1}[i/2^n,(i+1)/2^n]∩η^{-1}[i/2^n,(i+1)/2^n])]
（这一步的证明后面再说）
根据定义所有ξ^{-1}[i/2^n,(i+1)/2^n]和η^{-1}[i/2^n,(i+1)/2^n]∈F，而且都是可数交或者可数并，所以A∈F

等式的证明：
任意w∈∪_{x∈R}(ξ^{-1}{x}∩η^{-1}{x})，对于某个x0有ξ(w)=η(w)=x0。对于每个n都存在某个i使得x0∈(i/2^n,(i+1)/2^n]，所以w∈ξ^{-1}[i/2^n,(i+1)/2^n]∩η^{-1}[i/2^n,(i+1)/2^n]，所以w∈∩_{n∈N}[∪_{i∈Z}(ξ^{-1}[i/2^n,(i+1)/2^n]∩η^{-1}[i/2^n,(i+1)/2^n])]，所以左边是右边的子集。
显然后一个区间族（每个区间长度为1/2^{n+1}）里每一个区间是前一个区间族（每个区间长度为1/2^n）里某个区间的子集。所以任意w∈∩_{n∈N}[∪_{i∈Z}(ξ^{-1}[i/2^n,(i+1)/2^n]∩η^{-1}[i/2^n,(i+1)/2^n])]，存在序列{i_n}（i_n∈Z）使得ξ(w),η(w)∈[i_n/2^n,(i_n+1)/2^n]且[i_n/2^n,(i_n+1)/2^n]是[i_{n+1}/2^{n+1},(i_{n+1}+1)/2^{n+1}]的子集（任意n）。（说前面的那一堆是为了解决出现在边界的问题）这是个闭区间套，所以只有一个点x0∈∩_{n∈N}[i_n/2^n,(i_n+1)/2^n]，所以ξ(w)=η(w)=x0，所以w∈∪_{x∈R}(ξ^{-1}{x}∩η^{-1}{x})，所以右边是左边的子集。
所以等式成立。

（话说能不能多给点分啊。。。）