Question

已知a、b、c是△ABC的三边，并设二次函数y=(a+b)x²+2cx+（a-b），当x=-½时，有最小值-b/2.

求证三角形ABC为等边三角形

Answer 1

将x=-½时带入函数方程有：
（a+b）/4-c+a-b=-b/2，即5a-b-4c=0.....（1）
因为二次函数y=(a+b)x²+2cx+（a-b）中，二次项（a+b）>0，则函数开口朝上
则函数的对称轴与函数的交点为最小值，即当x=-2c/2（a+b）=-½，即a+b=2c.....（2）
联解（1）和（2）得出a=b
此时函数值为：（4（a+b）（a-b）-（2c）²）/4（a+b）=-b/2，并把a=b带入
即a=c
即a=b=c，三角形为等边三角形

Answer 2

带入（-½,-b/2）可以得到（5a）/4=b/4+c
同时由去最小值的点可以知道 -b/(2a)=-(2c)/(2(a+b))=-½
由上面的两式就可以得到a=b=c