Question

如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点P从点B开始沿BC边以每秒1cm的速度向C点运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2cm的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E，点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q，P停止运动，设它们运动的时间为X(s).
(1)当x= 秒时，射线DE经过点C；
(2)当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y(cm^2),求y与x的函数关系式(不用写出自变量的取值范围；
(3)当点Q运动时，是否存在以P，Q，C为顶点的三角形与三角形PDE相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

1.当PC=QC时，DE是△CPQ的高，所以DE过C点。
设P点的运动速度为Vp=1，Q点的运动速度为Vq=2，运动时间为x(0,2.5)秒。
解：PC=BC－xVP QC=xVq
　　x(Vp＋Vq)=BC
　　x(1＋2)=6
　　x=2
答：当x=2秒时，射线DE过C点。
2.过A点作BC的垂线交BC于F，过Q点作BC的垂线交BC于G，用△ABC的面积减△CPQ的面积就是四边形ABPQ的面积y。
解：QG/AF=QC/AC
　　QG=xVq(AF/AC) 其中AF=4
　　　 =x*2*4/5
　　　=1.6x
　　PC=BC－xVp=6－x
　　S△CPQ=QG*PC/2=0.8x(6－x)=4.8x－0.8x＾2
　　S△ABC=AF*BC/2=12
　　ABPQ面积= S△ABC－S△CPQ=12－4.8x＋0.8x＾2
答：它们的函数关系是y＝0.8x＾2－4.8x＋12。
3.当△CPQ∽△ABF时，PQ⊥AC，且DE∥AC，△CPQ∽△EPD
解：PC/QC=AB/BF
　　(6－xVp)/xVq=5/3
　　18－3x=10x
　　x=18/13
答：存在。当x=18/13秒时，△CPQ与△EPD相似。