Question

在等腰直角三角形ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若向量AB=m向

量AM，向量AC=n向量AN（m大于0，n大于0），则mn的最大值为
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Answer 1

解：以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，
则O点坐标为（1，1），B（0，2）、C（2，0），
∵ AB→=mAM，→AC→=nAN→，
∴ AM→=AB→m，AN→=AC→n，
∴ M(0，2m)、 N(2n，0)，
∴直线MN的方程为 nx2+my2=1，
∵直线MN过点O（1，1），
∴ m2+n2=1，即m+n=2
∵ m+n≥2mn（m＞0，n＞0），
∴ mn≤(m+n)24=1，
∴当且仅当m=n=1时取等号，且mn的最大值为1．

追问

AM→=AB→m，AN→=AC→n，
∴ M(0，2m)、 N(2n，0)，
∴直线MN的方程为 nx2+my2=1，
∵直线MN过点O（1，1），
∴ m2+n2=1，即m+n=2
∵ m+n≥2mn（m＞0，n＞0），
∴ mn≤(m+n)24=1，
∴当且仅当m=n=1时取等号，且mn的最大值为1． (拜托了，后面看不懂，能不能解释一下，详细点啊，谢啦！！！）直线MN的方程怎么列？m+n≥2mn?mn≤(m+n)24=1，24哪来的？