Question

如图已知梯形ABCD中，AB∥DC，BD⊥AC于E，AD=BC,DF⊥AB于F，AC,DF相交于DF的中点O

（1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证OH=OF（2）求证AB+CD=2BE

Answer 1

是这个图吗

证明：（1）连接OG．（这个辅助线自己连一下吧，只能插一个图）

∵O为DF中点，

∴DO=OF，

又∵AB∥CD且DF⊥AB，

∴∠ODC=∠OFA．

∴在△ODC和△OFA中，

∴△ODC≌△OFA．

∴CD=AF=3．

又∵FG=4，

∴AG=AF+FG=7=CG．

即：AG=CG．

又∵△ODC≌△OFA，

∴OA=OC．

∵AG=CG，

∴OG为∠AGC的角平分线．

∵OF⊥AG，ON⊥CG，

∴OF=OH．

（2）过D作DM∥AC交BA的延长线于M．

∵梯形ABCS中，AD=BC，

∴BD=AC．

又∵CD∥AM，DM∥AC，

∴四边形CDMA为平行四边形．

∴DM=AC，CD=AM．

∵MD∥AC，又AC⊥BD，且AC=BD，

∴DM⊥BD，DM=BD，

∴△DMB为等腰直角三角形．

又∵DF⊥BM，

∴DF=BF．

∴BM=2DF=2BF

∴AM+AB=2BF．

∵CD=AM，

∴AB+CD=2BF．

∵AC=BD=AB，

∴在△BEA和△BFD中，△BEA≌△BFD．

∴BE=BF．

∵AB+CD=2BF，

∴AB+CD=2BE．