Question

如图所示,平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于A(3,0),B(0,根号3)两点,点C为线

如图所示，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于A(3，0)，B(0，根号3 )两点，点C为线段AB上的一个动点，过点C作CD⊥x轴于点D。

（1）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

△OBA是直角三角形，所以△POB也必须是直角三角形
若∠BOP我直角，则P在x轴上，与题目中P在第一象限矛盾，所以可以有两种情况，
即∠PBO=90°，和∠BPO=90°
①若∠PBO=90°，设P（x,√3），所以√3/x=3/√3或√3/x=√3/3，所以x=1或3，
所以P(1，√3)或（√3，√3）
②若∠PBO=90°，则因为相似，对应角必须相等，所以OP⊥AB于P，即点P在直线AB上，所以
BP/√3=√3/AB，因为AB=2√3，所以BP=√3/2，可求得P(3/4,3√3/4)