Question

f(x)是R上的单调增函数,F(X)=f(x)-f(2-x).求证F(X)在R上是单调增函数

Answer 1

u<v,
f(x)是R上的单调增函数，
u<v, f(u)<f(v), f(u)-f(v)<0,
2-u>2-v,f(2-u)>f(2-v), f(2-v)-f(2-u)<0
F(u)-F(v)=[f(u)-f(v)]+[ f(2-v)>f(2-u)]<0
F(u)<F(v)
所以F(x)在R上是单调增函数

Answer 2

用定义。令X2>0 则X1+X2>X1
F(X1+X2)=f(x1+x2)-f(2-x1-x2)
F(X1)=f(x1)-f(2-x1)
F(X1+x2)-F(X1)=f(x1+x2)-f(2-x1-x2)-f(x1)+f(2-x1)=f(x1+x2)-f(x1)+f(2-x1)-f(2-x1-x2)
因为f(x)是单调递增，所以f(x1+x2)-f(x1)>0 f(2-x1)-f(2-x1-x2)>0
F(X1+x2)-F(X1)>0
因为X1+X2>X1 所以F(X)是单调增函数