Question

设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2,若当x>=0时，f(x)>=0,求a的取值范围。

我想说这一题答案不是a<=1/2,是（负无穷大，-1],请写好过程。

Answer 1

当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围
f(x)=x*(e^x-1)-ax^2
所以，f'(x)=e^x-1+x*e^x-2ax=(x+1)e^x-2ax-1
则当x=0时，有：f'(x)=0。且f(0)=0
已知当x≥0时，f(x)≥0
所以，必须满足在x＞0时，f'(x)＞0【因为只有这样才能保证f(x)在x＞0时递增，且f(x)≥f(0)=0】
则：f''(x)=e^x+(x+1)e^x-2a=(x+2)e^x-2a在x＞0时大于等于零
所以，(0+2)*e^0-2a≥0
则，a≤1

Answer 2

当x>=0时，f(x)=x(e^x-1)-ax^2>=0，只需e^x-1-ax>=0。
设g(x)=e^x-1-ax，g'(x)=e^x-a(x>=0)。
1)若a<=1，则g'(x)>=0，g(x)为增函数，x>=0时，g(x)>=g(0)=0，即e^x-1-ax>=0。
2)若a>1，则g(x)的极小值是(也是最小值)为g(lna)=a-1-alna。
设h(a)=a-1-alna(a>=1)，h'(a)=-lna<0，h(a)递减，a>1，则h(a)<h(1)=0，此时不满足要求。
综上所述，a的取值范围是：(-无穷,1]