Question

椭圆问题！！~！ 请您答复！

若直线l:y=kx+m （k≠0） 与椭圆c x2/4+y2=1 交于不同的两点M， N （M N不是左右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆c的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标

Answer 1

A坐标为（2，0），
设M（x1,y1),N(x2,y2),
根据条件可知，A在以MN为直径的圆上，故MA⊥AN，（半圆上的圆周角是直角），
向量AM=（x1-2,y1),向量AN=（x2-2,y2),
∵向量AM⊥AN，
∴AM·AN=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,
y1=kx1+m,
y2=kx2+m,
y1y2=k^2x1x2+mk(x1+x2)+m^2,
x1x2(1+k^2)+(x1+x2)(mk-2)+m^2+4=0,(1)
直线方程代入椭圆方程内，
(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-8km/(1+4k^2),
x1x2=4(m^2-1)/(1+4k^2),
代入（1）式，
（5m+6k)(m+2k)/(1+4k^2)=0,
m=-6k/5,
m=-2k,
y=kx-6k/5,
y=k(x-6/5),
则无论k取什么不为0的数，直线总是经过（6/5，0）这一点。
而当m=-2k时，
y=kx-2k=k(x-2),经过（2，0）点，即A（2，0），此时只有k=0时才满足条件，故不符合条件，
所以，直线l经过定点（6/5，0）.