Question

函数f(x)=a(x^3)+b(x^2)-(a^2)x(a＞0)的两个极值点为x1,x2(x1≠x2), 且∣x1∣+∣x2∣=2√2,则b的最大值是

Answer 1

f'(x)=3ax^2+2bx-a^2
x1+x2=-2b/(3a)
x1x2=-a/3<0, 因此两根异号。
(|x1|+|x2|)^2=x1^2+x2^2+2|x1x2|=x1^2+x2^2-2x1x2=(x1+x2)^2-4x1x2=4b^2/(9a^2)+4a/3=8
则：b^2=18a^2-3a^3=3a^2(6-a)>=0, 因此0<a<=6
由均值不等式得：b^2=12* a/2*a/2*(6-a)<=12* [(a/2+a/2+6-a)/3]^3=96
当a/2=6-a时，即a=4时取等号
b的最大值为√96=4√6，当a=4时b取得最大值。