Question

一个微积分近似公式的证明

Answer 1

将 f(x)=(1+x)^α 展成Taylor 级数：
f(x) = 1+αx+α(α-1)x^2/2+α(α-1)(α-2)x^3/6+........；
当 x很小的时候，忽略 x² 及其以上的高次项，保留一次项得到：
f(x) ≈ 1 + α x (1)
用于作近似计算。
举例：f(x) = (1+x)^17 计算：f(0.03)=?
利用近似公式(1)，
f(0.03) = 1 + 17×0.03 = 1.51
精确值 f(0.03)=1.03^17≈1.65 误差：8%，
表明一阶近似（1）的精度不是很高，除非x值很小！为了提高近似的精度，可以保留
二次项： f(x) ≈ 1 + α x + α(α-1)x^2/2 (2)
还以上题为例，计算
f(0.03)=1+17×0.03+17×16×0.03^2/2
= 1.51+0.1224
= 1.6324 //: 误差只有1%了！
这些内容已成近似计算的基本方法。

Answer 2

取f(x)=x^a，则df/dx = ax^(a-1)
根据中值定理，f(1+x) = f(1) + f'(x1) *x
其中x1是(0,x)上的一个值
所以(1+x)^a=f(1+x) = f(1)+f'(x1)x = 1 + ax1^(a-1) x
显然，ax^(a-1)连续，所以ax1^(a-1) 在x1趋于0时，为a
得证

Answer 3

证明：
由lim(x->0) (1+x)^(1/x) = e.得
lim(x->0) ln (1+x) / x = 1. (取对数)
ln(1+x) ~ x.
(以e为底)e^[ln(1 + x)] ~ e^x
1 + x ~ e ^ x.
(1 + x) ^ a = e ^ ax ~ 1 + ax.