面积问题

在任意三角形纸片上,三边分别为a,b,c,AD为三角形高,剪一个平行四边形HGEF,使得它一边EF在BC上,顶点G,H在AC,AB上,AD与HG交于点M,如图,求证:平行... 在任意三角形纸片上,三边分别为a,b,c,AD为三角形高,剪一个平行四边形HGEF,使得它一边EF在BC上,顶点G,H在AC,AB上,AD与HG交于点M,如图,求证:平行四边形的面积不大于三角形的面积的一半。 展开
息喜和超
2012-01-25 · TA获得超过1104个赞
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证明:由题意知HG∥BC,则平行四边形HGEF的面积=2S△HGC
HG/BC=AG/AC=AH/AB=AM/AD=(AD-MD)/AD=1-MD/AD
S△AHG/S△HGC=AG/GC
S△AHC/S△HGC=AC/GC
S△AHC/S△ABC=AH/AB
S△ABC/S△HGC=AB*AC/(AH*GC)
GC/AG=BH/AH=AB/AH-1
GC=AG*AB/AH-AG
AH*GC=AG(AB-AH)
AH*GC/(AB*AC)=AG/AC-AG/AC*AH/AB=AG/AC-(AG/AC)^2
=1/4-(AG/AC-1/2)^2≤1/4
∴S△HGC≥4
S△ABC/平行四边形HGEF的面积≥2,即平行四边形的面积不大于三角形的面积的一半。
证毕。
更多追问追答
追问
平行四边形HGEF的面积=2S△HGC,这样的结论正确吗?
追答
当然正确。S△HGC=HG*MD/2,平行四边形HGEF的面积=HG*MD=2S△HGC。这是等底等高的△和平行四边形的面积关系。
IceEyes0717
2012-01-25 · TA获得超过2396个赞
知道小有建树答主
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假设BC=a,AD=h(a和h均为已知),则三角形ABC的面积S=ah/2
设EF=HG=x,由于三角形AHG相似于三角形ABC,所以AM:AD=HG:BC,AM:h=x:a,即AM=hx/a
所以平行四边形的面积S1=EF*MD=x*(AD-AM)=x*(h-hx/a)=h*x*(1-x/a)=ah*(x/a)*(1-x/a)
根据基本不等式,S1<=ah*[((x/a)+(1-x/a))/2]^2=ah/4=S*1/2
当且仅当x/a=1-x/a时,即x=1/2*a时取到等号。
追问
看不懂,‘根据基本不等式,S1<=ah*[((x/a)+(1-x/a))/2]^2=ah/4=S*1/2’这怎么得出的?
追答
基本不等式
a*b<=((a+b)/2)^2
这个不等式很容易证明,一打开化简就知道了!
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