Question

为什么微分方程要用特解？

Answer 1

微分方程的通解公式：

y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x)，其中：a、b由初始条件确定，例：y''+3y'+2y = 1，其对应的齐次方程的特征方程为s^2+3s+2=0，因式分(s+1)(s+2)=0，两个根为：s1=-1 s2=-2。

y''+py'+qy=0，等式右边为零，为二阶常系数齐次线性方程；y''+py'+qy=f（x），等式右边为一个函数式，

为二阶常系数非齐次线性方程。可见，后一个方程可以看为前一个方程添加了一个约束条件。对于第一个微分方程，目标为求出y的表达式。求解过程在课本中分门别类写得很清楚，由此得到的解，称为【通解】，

通解代表着这是解的集合。我们中学就知道，M个变量，需要M个个约束条件才能全部解出。例如，解三元一次方程组，需要三个方程。由此，在变量相同的条件下，多一个约束条件f（y），就可以多确定一个解，此解就称为【特解】。

Answer 2

解:微分方程的有些解不是靠通式解法解出来的，而是靠经验观察出来的，而且有的微分方程的通解就是靠特解求出来的。
解微分方程为xy"+(x+4)y'+3y=4x+4，假设微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=xʳ，将特解带入方程，有x(xʳ)"+(x+4)(xʳ)'+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+r(x+4)xʳ⁻¹+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+4rxʳ⁻¹+rxʳ+3xʳ=0，(r²+3r)+(r+3)x=0，(r+3)(r+x)=0，得：r=-3，则微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=x⁻³，再设微分方程的通解为y=x⁻³u，有x(x⁻³u)"+(x+4)(x⁻³u)'+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-3x⁻⁴u'-3x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-6x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x²u"-6xu'+12u+(x+4)(xu'-3u)+3xu=0，x²u"+(x²-2x)u'=0，u"×eˣ/x²+eˣ(1/x²-2/x³)u'=0，(u'eˣ/x²)'=0，u'eˣ/x²=a(a为任意常数)，u'=ax²e⁻ˣ，u=-ax²e⁻ˣ-2axe⁻ˣ-2ae⁻ˣ+c(为任意常数)，微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³(c为任意常数)；设原微分方程的特解为y=px+q，有p(x+4)+3(px+q)=4x+4，4px+4p+3q=4x+4，有4p=4，4p+3q=4，得：p=1，q=0，微分方程的特解为y=x，通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³+x