Question

求证:存在整数x，y满足x²+4xy+y²=2022

Answer 1

此题可以求所做的整数解。
原式化为(x+2y)²=2022+3y²
由于原式严格的对称性，故只需要求一组解，就能得到四组解(互换x,y和取相反数)。
显然y≠0，同÷y²
(x/y)²+4x/y+1=2022/y²
分类讨论：
1.当x,y同号时，不妨设x≥y>0，故x/y≥1，2022/y²=(x/y)²+4x/y+1=(x/y+2)²-3≥6，∴y²≤337<19²，故y≤18，(x+2y)²=2022+3y²≤2994，而54²<2994<55²
现在确定了两个范围，45≤x+2y≤54，1≤y≤18，穷举x+2y这10个数字，就只有唯一解x=43，y=1。
再根据对称性，求得另外三组解x=1，y=43或x=-1，y=-43或x=-43，y=-1。
2.当x，y异号时，xy0>y，且ℓxℓ>ℓyℓ，同上面的方法一样放缩可以求得唯一解x=47，y=-1
再根据对称性，求得其他解x=-1，y=47或x=-47，y=1或x=1，y=-47
故原方程所有的整数解为：(43,1),(1,43),(-43,-1),(-1,-43),(47,-1),(-1,47),(-47,1),(1,-47)这八组解。