Question

老师，设A是m*n矩阵，B是n*m矩阵，则线性方程组（AB）X=0，（A）当n>m时仅有零解 （B）当n>m时必有非零解

Answer 1

由已知 AB 是 m 阶方阵
当n>m时, 无法确定 AB 的秩与m的关系
而当n<m时, r(AB)<=r(A)<=min{m,n}=n<m
此时 ABX=0 必有非零解.

不好意思,几天没上网, 才看到你的问题

追问

没事，当n>m时, 为什么无法确定 AB 的秩与m的关系？
r(AB)<=r(A)<=min{m,n}=m<n，不能推出有非零解么？

追答

得到 r(AB)<=m 没用, 可能等于m (史有零解)也可能小于m(有非零解)
无法确定.
只有确定 r(AB)<m 才有非零解