Question

已知y^2=4x,过点M(1,0)且斜率为k的直线l与抛物线C的准线相交于A点,

已知y^2=4x,过点M(1,0)且斜率为k的直线l与抛物线C的准线相交于A点，与抛物线C的一个交点为B，若2AM向量=MB向量，则k=？

Answer 1

设准线l与x轴的交点为D

(1)、如果抛物线的准线x=-p/2在点M的左侧，也就是说：

当x=-p/2＜1即：p＞-2时：

|MD|=1+p/2

∵k=√3 ∴直线AB与x轴的夹角θ为π/3

∴|AD|=|MD|*tanθ=√3(1+p/2)

∵此时A点在第三象限

∴A(-p/2，-√3(1+p/2))

∵M为AB中点，设B(m，n)

∴(m-p/2)/2=1，[n-√3(1+p/2)]/2=0

∴m=2+p/2，n=√3(1+p/2)……①

∵B(m，n)在抛物线上，n²=2pm

∴将①代入，得到：[√3(1+p/2)]²=2p(2+p/2)

解得：p=2或者：p=-6

∵p＞-2 ∴舍去p=-6

故：p=2

(2)、如果抛物线的准线x=-p/2在点M的右侧，也就是说：

当x=-p/2＞1即：p＜-2时：

|MD|=-p/2-1

∵k=√3 ∴直线AB与x轴的夹角θ为π/3

∴|AD|=|MD|*tanθ=-√3(1+p/2)＞0

∵此时A点在第三象限

∴A(-p/2，√3(1+p/2))

∵M为AB中点，设B(m，n)

∴(m-p/2)/2=1，[n+√3(1+p/2)]/2=0

∴m=2+p/2，n=-√3(1+p/2)……②

∵B(m，n)在抛物线上，n²=2pm

∴将②代入，得到：[-√3(1+p/2)]²=2p(2+p/2)

解得：p=2或者：p=-6

∵p＜-2 ∴舍去p=2

故：p=-6

综合①、②两种情况，可以得到：

p=2或者：p=-6

Answer 2

k=±(√5)/2

追问

请问有过程吗