高数微分方程 xy'-yln y=0的通解,
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dhy2603,
这题太容易了,xy'-ylny=0 ①,两边再对x求一次导得到y'+xy''-y'lny-yy'/y=0,即有
xy''-y'lny=0 ②,联立两式得,ylny*y''/y'-y'lny=0③,可以开始讨论了,由第一式,可以得出可能有y'=0,此时由1知y=1,常函数.当y'≠0时,才有③,此时lny≠0,得到(yy''-y'^2)/y'=0 ④ 从而yy''-y'^2=0,得到只显含y的微分方程式,将④变形为 (y'^2-yy'')/y'^2=0,于是有(y/y')'=0,于中得y/y'=C,再倒过来变一次型,得到 y'/y=c,两边积分得lny=cx,则有y=e^(cx),此为通解,y=1也含在里面了.
这题太容易了,xy'-ylny=0 ①,两边再对x求一次导得到y'+xy''-y'lny-yy'/y=0,即有
xy''-y'lny=0 ②,联立两式得,ylny*y''/y'-y'lny=0③,可以开始讨论了,由第一式,可以得出可能有y'=0,此时由1知y=1,常函数.当y'≠0时,才有③,此时lny≠0,得到(yy''-y'^2)/y'=0 ④ 从而yy''-y'^2=0,得到只显含y的微分方程式,将④变形为 (y'^2-yy'')/y'^2=0,于是有(y/y')'=0,于中得y/y'=C,再倒过来变一次型,得到 y'/y=c,两边积分得lny=cx,则有y=e^(cx),此为通解,y=1也含在里面了.
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