Question

α、β是一元二次方程x＾2+x-1=0的两个根，是否存在正整数对(m，n)，使得mα＾6+nβ＾4为定值,若存在,求

出m，n最小时相应的定值，若不存在，说明理由

Answer 1

不存在。
因为α、β是x²+x-1=0的两个实数根，α²，β²均为大于0的数，
若α的6次方为a，β的4次方为B，那么
f(m,n)=am+bn是一个无界函数。

追问

用韦达定理可得mα＾6+nβ＾4＝5(m+n)+(3n-8m)α，能不能认为当m=3，n=8时，最小值为55。

追答

mα＾6+nβ＾4＝5(m+n)+(3n-8m)α是随着m、n变化而变的呀，并不是一个定值。

追问

α、β是x²+x-1=0的两个不同的实数根，取值不同，当m=3，n=8时，mα＾6+nβ＾4＝5(m+n)+(3n-8m)α的值与α、β无关，此时不就成了定值了吗？实际上只要满足3n-8m＝0时均可，但当m=3，n=8时，值最小为55。这样理解正确吗？
（2）如果我这样来计算
mα＾6+nβ＾4+mβ＾6+n＾α4
＝18m+7n同样取值与α、β无关，此时m=n=1时，最小值为25，但这样做法是错的，你能解释清楚为什么吗？

追答

问题在于mα＾6+nβ＾4并不是一个定值，是随m和n变化的量，所以能得出不同的结果。

追问

本题题意应为存在正整数对(m，n)，使得mα＾6+nβ＾4的值不会因为α、β分别取方程的两个根时而改变。

追答

是这样啊。那么可以这样考虑：寻找m、n使mα＾6+nβ＾4=mβ＾6+nα＾4。