Question

留数定理，我的计算步骤有错吗，还是方法用错了？最后二阶导数再求极限求不出来。麻烦详细解题过程，谢谢

留数定理，我的计算步骤有错吗，还是方法用错了？最后二阶导数再求极限求不出来。麻烦详细解题过程，谢谢！

Answer 1

　　解：分享一种解法。设f(z)=1/(z^2sinz)，∵sinz=z-(1/3!)z^3+…+[(-1)^nz^(2n+1)]/(2n+1)!，∴z^2sinz=(z^3)[1-(1/6)z^2+(1/120)z^4+…+1/(2n+1)!(-1)^nz^(2n)]。∴z=0是f(z)d 三阶极点。
　　再设φ(z)=1/)[1-(1/6)z^2+(1/120)z^4+…+1/(2n+1)!(-1)^nz^(2n)]，则Res[f(z),0]=lim(z→0)d²[z^3f(z)]/dz²=lim(z→0)d²[φ(z)]/dz²。
　　而φ'(z)=[z/3-(1/30)z^3+…]φ²(z)，φ''(z)=[1/3-(1/10)z^2+…]φ²(z)+2[[z/3-(1/30)z^3+…]^2φ³(z)。　∴原式=Res[f(z),0]=lim(z→0)d²[z^3f(z)]/dz²=1/3。供参考。