Question

与圆有关的最值问题

Answer 1

与圆有关的最值问题

1.形如形式的最值问题

例1.已知实数满足方程，求的最大值和最小值。

解：原方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆，k表示的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx=k,即 y=kx。

当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值，此时，解得。

所以的最大值为A，最小值为B。

归纳：在圆的方程的条件下，求的最值，可看作和两点的连线的斜率的最值。当动直线与圆相切时，动直线的斜率取到最大值及最小值。

2.形如形式的最值问题

例2.已知实数满足方程，求的最大值和最小值。

解：表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆周的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值是。

总结：形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题，在计算圆外一定点到圆上一动点的距离的最值时，应当先画出定点和圆心的连线与圆的两个交点，然后计算定点和圆心两点的距离，该距离加上半径就是的最大值，该距离减去半径就是的最小值。

3.形如形式的最值问题

例3.已知实数满足方程，求的最大值和最小值。

解：可看作是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时圆心到直线的距离等于半径，即，解得。

所以的最大值为A，最小值为B。

归纳：

形如的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题。当动直线与圆相切时，动直线在轴上的截距取到最值。

4.圆上的动点到直线的距离的最值

例4.圆上的点到直线的距离的最大值。

解：圆的圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的最大值为。

归纳：对于计算圆上的点到直线的距离的最值时，应该过圆心作直线的垂线，这条垂线所在的直线与圆产生两个交点。问题就转化为圆心到直线的距离的问题。当直线与圆相离时，圆心到直线的距离加上半径就是最大值，圆心到直线的距离减去半径就是最小值。

       总之，万变不离其宗，解决与圆有关的最值问题要运用圆的几何性质及所求代数式的几何意义，其基本思想就是数形结合的思想。