Question

一阶非线性微分方程

Answer 1

可以设y'=p=dy/dx

则y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy

代汪或入方程得：pdp/dy=e^(2y)

即pdp=e^(2y)dy

2pdy=e^(2y)d(2y)
积分：p^2=e^2y+c1
由y(0)=0,y'(0)=0, 得：0=e^0+c1, 得：c1=-1
因此有：p=√(e^2y-1)

得：dy/√(e^2y-1)=dx
左边积分为：令t=√(e^2y-1), 得：y=1/2*ln(t^2+1), dy=tdt/.(t^2+1)
∫dt/(t^2+1)=arctant=arctan√(e^2y-1)
右边积分为：x+c2

因此有：桥肢arctan√(e^2y-1)=x+c2
代入y(0)=0得：arctan√0=c2=0
因此有：arctan√(e^2y-1)=x

即：困消伍√(e^2y-1)=tanx
y=1/2*ln[(tanx)^2+1]