Question

关于一个高中数学问题，很简单，求过程。

一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器，里面装满水，一铁球沉入水内，有水溢出，容器盖上一平板，恰与球相切，问容器内剩下水是原来的几分之几？

Answer 1

易知，圆锥的轴截面是正三角形，球的半径是轴截面正三角形的内切圆半径。
设正三角形边长为2R，则圆锥的高为h=√3R，球的半径r=(1/3)h=(√3/3)R
圆锥的体积 V锥=(1/3)πR²h=(√3/3)πR³
球的体积 V球=(4/3)πr³=(4√3/27)πR³
V剩=V锥－V球=(5√3/27)πR³
从而 V剩/V锥=5/9
即容器内剩下水是原来的5/9。

Answer 2

这个圆锥的纵截面是正三角形，设这个三角形边长为a,这个圆锥体积为(（√3）/24)(a^3)π，然后这个铁球是和3条边都相切的，半径为（（√3）/6）a （半径为高的1/3），所以球体积为(（√3）/54）(a^3)π,得到最终比例5/9