Question

一道数学解析几何题，椭圆，抛物线的

已知椭圆C1:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/3，直线l：y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴为半径的圆相切。
（1） 求椭圆C1的方程；
（2） 设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程。
（3）设C2和x轴交于Q，不同亮点R，S在C2上，且满足QR垂直于RS，求|QS|的取值范围。

第（2）问答案是y2=4x吧？我想知道第（3）问

Answer 1

（1）:x²/3+y²/2=1
（2）：y²=4x。（你对了）
（3）：设R(x1,y1)，S(x2,y2)，（y1,y2不为0且不相等）而Q(0,0)，OR垂直RS，故向量RS=(x2-x1,y2-y1)=(y2^2/4-y1^2/4,y2-y1)=( (y1+y2)/4,1)，QR=（x1,y1)=(y1^2/4,y1)=(y1/4,1)，
RS*QR=(y1^2+y1y2)/16+1=0，即y2=-(16/y1+y1)；
x2=y2^2/4=(64/y1^2+y1^2
+32)/4=16/x1+x1+8>=2根号16+8=16，即x2>=16。
|QS|^2=x2^2+y2^2=x2^2+4x2=(x2+2)^2-4>=18^2-4=320，|QS|>=8根号5。
运用向量垂直以及均值不等式即可求得！
合作愉快