Question

在三角形ABC中，已知（a+b+c）(b+c-a）=3bc,且sinA=sinBcosC,试确定三角形ABC的形状

不好意思啊，我题写错了，应该是在三角形ABC中，已知（a+b+c）(b+c-a）=3bc,且sinA=2sinBcosC,试确定三角形ABC的形状

Answer 1

(a+b+c)(b+c-a)=3bc
(b+c+a)(b+c-a)=3bc
(b+c)^2-a^2=3bc
b^2+2bc+c^2-a^2=3bc
b^2+c^2-a^2=bc
余弦定理：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=bc/(2bc)=1/2
A=60°

sinA=sinBcosC
sinA/sinB=cosC
sinA/sinB=a/b，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
a/b=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
2a^2=a^2+b^2-c^2
a^2+c^2=b^2
B=90°，C=180°-A-B=30°

锐角分别为30°、60°的直角三角形

追问

不好意思啊，刚才我没看见，我题好像写错了，应该是在三角形ABC中，已知（a+b+c）(b+c-a）=3bc,且sinA=2sinBcosC,试确定三角形ABC的形状.真的很抱歉啊

追答

sinA=2sinBcosC
sinA/sinB=2cosC
sinA/sinB=a/b，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
a/b=2(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
a^2=a^2+b^2-c^2
b^2-c^2=0
b=c
等边三角形

追问

谢谢