Question

在三角形ABC中，已知（a+b+c）(b+c-a）=3bc,且sinA=sinBcosC,试确定三角形ABC的形状

Answer 1

sinA=sin(pai-(B+C))=sin(B+C)=SC+CS
又sinA=sinBcosC
所以cosBsinC=0 因为角C不等于0度，所以cosB=0 所以B为直角
由（a+b+c）(b+c-a）=3bc
b²+c²-a²+2bc=3bc
即cosA=1/2 A为60度，锐角
所以是直角三角形

Answer 2

解：(a+b+c)(b+c-a)=(b+c)^2-a^2=b^2+c^2-a2+2bc=3bc
∴b^2+c^2-a^2=bc
由余弦定理：cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=1/2
∵0＜A＜π
∴A=π/3
∵sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=sinBcosC
∴sinCcosB=0
∵0＜C＜π
∴sinC＞0，cosB=0
∴B=π/2，C=π/6
∴△ABC为直角三角形