Question

已知函数f(x)=x3+x (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)求证：f(x)是R上的增函数。

（3）.f(m+1)+f(2m-3)小于0，求m的取值范围 。（参考公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

步骤要清清楚楚的 ，好的加分 。

Answer 1

(1)f(x)是奇函数。
因为f(-x)=(-x)^3+(-x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数。
（2）设x1<x2
f(x1)-f(x2)=[(x1)^3-(x2)^3]+(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1)^2+x1x2+(x2)^2]+(x1-x2)
=（x1-x2)[(x1+x2)^2-x1x2]+(x1-x2)
显然x1-x2<0,(x1+x2)^2-x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)<0
即f(x)是R上的增函数。
（3）由题意：f(m+1)<-f(2m-3)
因为f(x)是奇函数
所以f(m+1)<f(3-2m)
又f(x)是增函数
所以m+1<3-2m
解得：m<2/3

Answer 2

解：1.该函数为奇函数。
定义域为R，关于原点对称；
又有f(x)=x^3=x=-（（-x)^3+(-x)）=-f(-x)，所以。。。。。
2.不妨在定义域中任取x1,x2,(x1>x2)
f(x1)-f(x2)=。。。。。=(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2+1)
由（x1-x2)^2>=0可知x1^2+x2^2+x1x2>0 则f(xi)>f(x2)
所以。。。。。。。。
3变形有f(m+1)<-f(2m-3)
奇函数性质f(m+1)<f(-(2m-3))
再利用单调性易求m.

Answer 3

解：1.该函数为奇函数。
定义域为R，关于原点对称；
又有f(x)=x^3=x=-（（-x)^3+(-x)）=-f(-x)，所以。。。。。
2.不妨在定义域中任取x1,x2,(x1>x2)
f(x1)-f(x2)=。。。。。=(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2+1)
由（x1-x2)^2>=0可知x1^2+x2^2+x1x2>0 则f(xi)>f(x2)
所以。。。。。。。。
3变形有f(m+1)<-f(2m-3)
奇函数性质f(m+1)<f(-(2m-3))
再利用单调性易求m. 定义域为R，关于原点对称；
又有f(x)=x^3=x=-（（-x)^3+(-x)）=-f(-x)，所以。。。。。
2.不妨在定义域中任取x1,x2,(x1>x2)
f(x1)-f(x2)=。。。。。=(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2+1)
由（x1-x2)^2>=0可知x1^2+x2^2+x1x2>0 则f(xi)>f(x2)
所以。。。。。。。。