Question

设3阶矩阵A的特征值为1,-1,0,对应的特征向量分别为x1,x2,x3

设3阶矩阵A的特征值为1,-1,0,对应的特征向量分别为x1,x2,x3,若B=A^2-2A+3I
求B^-1的特征值与特征向量

Answer 1

特征向量仍是对应的 x1,x2,x3设 Aα = λα则 Bα = (A^2-2A+3I)α = A^2α-2Aα+3Iα = λ^2α -2λα + 3α = (λ^2 -2λ + 3)α所以 α 仍是B的属于特征值 λ^2 -2λ + 3 的特征向量

追问

不是应该是A^2α=Aλα吗，为什么A^2α=λ^2α?

Answer 2

特征向量仍是对应的 x1,x2,x3设 Aα = λα则 Bα = (A^2-2A+3I)α = A^2α-2Aα+3Iα = λ^2α -2λα + 3α = (λ^2 -2λ + 3)α所以 α 仍是B的属于特征值 λ^2 -2λ + 3 的特征向量