Question

高斯积分公式及推广

Answer 1

高斯积分公式及推广是微积分基本公式在三重积分情形下的推广的。

高斯积分本质上是高斯函数下的面积。本文将研究高斯函数下的总面积是多少，这意味着我们将计算一个无限域的积分，并将这个结果应用于高斯函数的多种变化。

高斯积分有多种用途。其中最常见的是在统计学中的正态分布中，实际上一个连续随机变量X的点的分布是高斯分布：X的大多数随机样本将落在均值E[X]附近，方差Var[X]决定高斯分布的宽度或狭窄程度。因此，Var[X]越大，点的分布越广。

数学上的形式变换会带来意想不到的惊喜，寻找对证明、算法设计有益处的变换要靠我们对公式形式的仔细观察。所谓曲径通幽，柳暗花明。世界上唯一不变的是变化，数学推导和证明更是体现了这一点。

高斯积分在科学、统计学和概率论中经常出现。事实上，如果熟悉统计学中的正态分布（也被称为 "贝尔曲线"），那么你可能知道什么是高斯函数。证明公式(1)的最普遍的形式在整个定义域上积分为1，可以做为概率分布使用。