Question

二重积分如何调换次序及其原理 比如这道题

二重积分如何调换次序及其原理
比如这道题

Answer 1

如图所示

看图中的箭头，

向上那个是先y后x，表示的是函数y = f(x)的变化

先穿过y = x^2再穿过y = 1，所以积分限是y：【x^2 -> 1】

向右那个是先x后y，表示的是函数x = g(y)的变化

先穿过x = 0再穿过x = √y，所以积分限是x：【0 -> √y】

追问

谢谢 但是我还是不太明白 为何做这两个箭头就是他的代换结果？还有算式的第二行x为啥可以从积分外拿到积分内 第三行的e^(-y^2)也是直接从积分内拿到了积分外？

追答

这个图只是讨论积分方向，与被积函数无关的，即使你改为ƒ(x，y)也是这样
因为内层积分是对y的积分，这里的x会被视为常数项，可以拿到对x的积分那层面

注意曲线之间是内层积分的次序，而区间是外层积分的次序

对于三重积分也是这样
区间 -> 曲线 -> 曲面

追问

谢谢 但是我还是不太明白 为何这样的箭头指向对应的就是调换后的积分线 还有等式的第二行与第三行为何x可以直接从积分外拿到积分内，e^(-x^2)可以直接从积分外拿到积分内呢？

不好意思发重了。。不要看这个了

追答

那两个箭头指的是内层积分限；至于区间的积分限，从范围内，看曲线从哪里开始变化，从哪里结束

如果还是不熟悉的话就要做练习了哦，暂时不用管背后原理，而是先学习变换方法

追问

你好厉害呀 请问一下积分方向的含义 是朝着该方向累加吗？什么是内层积分什么是外层积分呀

追答

红色是外层积分，然后是蓝色，最后是绿色

对应的变量也是从直线，到曲线，然后是曲面

从定义来说，积分方向就是把函数值累加起来，形成面积，体积等

红色是外层积分，蓝色是内层，然后绿色是最内层

所以积分时是先从最内层开始，不过x，y，z的次序可以改变的

Answer 2

换序关键在画图。