Question

已知抛物线方程y^2=2x.设点A的坐标为（2/3，0)，求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|

Answer 1

以A点为圆心，建立圆的方程(x-2/3)^2+(y-0)^2=r^2

联立抛物线与圆的方程，当圆与抛物线有唯一解时，切点即为点P，圆的半径r即为|PA|。

Answer 2

解：（1）设点P（x，y）是抛物线y2=2x上任意一点，
∴ |PA|2=(x-23)2+y2=x2-43x+49+2x=(x+13)2+13(x≥0)
当x=0时， |PA|小=23，此时P（0，0）．
（2）设P（x，y）为y2=2x上任意一点，
∴|PA|2=（x-a）2+y2=x2-2ax+a2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x≥0）
①当a≥1时，x=a-1≥0，即a≥1处|PA|小= 2a-1
②当a＜1时，x=0，|PA|小=|a|
综上所述， d={2a-1(a≥1)|a|(a＜1)

Answer 3

解：设点P（x，y）是抛物线y2=2x上任意一点，
∴ |PA|2=(x-23)2+y2=x2-43x+49+2x=(x+13)2+13(x≥0)
当x=0时， |PA|小=2/3，此时P（0，0）．