Question

已知定义域为R的函数f(x)=-2^x+b/2^(x+1)+a是奇函数解不等式f(x-1)+f(2x+3)<0

Answer 1

解：
因为 f(x)是奇函数，所以f(0)=0 （这不是说特殊值哦，而是根据奇函数的定义得知的）
即(b-1)/(a+2)=0
则 b=1

因为 f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)
即(b-1/2)/(a+1)=-(b-2)/(a+4)
1/[2(a+1)]=1/(a+4)
2(a+1)=a+4
则a=2

综上：a=2,b=1

或者用下面的方法
对R上的奇函数来说，f(0)=0,即-1+b=0,b=1.
F(x)=(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)
又有F(-x)=- F(x)
(-2^(-x)+1)/(2^(-x+1)+a)= -(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)……左边式子的分子分母同乘以2^x
(-1+2^x)/(2+a•2^x)= (2^x-1)/(2^(x+1)+a)
所以2+a•2^x=2^(x+1)+a
a(2^x-1)= 2^(x+1)-2,
a(2^x-1)= 2(2^x-1)
所以a=2.
所以 f(x) = (-2^x+1)/[2^(x+1)+2]= (-2^x+1)/{2[2^x + 1]}
= (-2^x - 1 + 2)/{2[2^x + 1]}
= -1/2 + 1/(2^x + 1)
f(x-1)+f(2x+3)=-1/2+1/(2^(x-1)+1)-1/2+1/(2^(2x+3)+1)<0
1/(2^(x-1)+1)+1/(2^(2x+3)+1)<1
2^(2x)*8+1+2^x*1/2+1<(2^(x-1)+1)(2^(2x+3)+1)
8*2^(2x)+1/2*2^x+2<2^(3x+2)+2^x*1/2+2^(2x)*8+1
2^(3x+2)>1
3x+2>0
x>-2/3

Answer 2

因为 f(x)是奇函数===>>> f(x)= -f(-x) ===>>> a=2,b=0,亦即 f(x)=-2^x+2^(-x) ===>>> 单调递减
所以 f(x-1)+f(2x+3)<0 ====>>> f(x-1)<f(-2x-3) ====>>>> x>-2/3