Question

极限与导数与微分与定积分与变上限积分与不定积分的关系，大家说说，量力而行

有想说的就说，说出心中的想法就行了。

Answer 1

极限是整个微积分的基础，微积分的所有概念都是建立在极限基础上的。
一元函数中，可导与可微是等价的。
不定积分是导数运算的逆运算。
定积分的定义是积分和的极限，原始意义是一个极限问题；然而，变动上限的积分（即积分函数）的导数就是被积函数，因而，定积分问题也是求原函数的问题，这样，微分与积分就是一对互逆的运算。

追问

不定积分和定积分呢

追答

定积分是求原函数的问题，而定积分是积分和的极限，俩者表面上没有关系，但由于微积分基本定理把不定积分与定积分联系了起来，即定积分为被积函数的不定积分加上下限。

追问

怎么联系起来的？

追答

由微积分基本定理联系起来，变动上限的积分的导数就是被积函数，因而，变动上限积分是被积函数的原函数。

追问

不定积分的导数也是被积函数，是否说明什么？

追答

变动上限的积分的导数就是被积函数，不定积分的导数也是被积函数，说明了两者的一致性。
换句话说：变动上限积分是被积函数的原函数，而不定积分也是被积函数的原函数。
显然是一致的。
自己动脑想一想吧！

追问

很容易地知道不定积分的定义来源就是由于变上限积分的求导是被积函数，取消上下限的变上限积分就是不定积分。

追答

不定积分与定积分的来源是不同的，源于两个不同的问题，
是由变动上限的积分揭示了他们本质的联系。

Answer 2

1L已经说得很好了，我说一些我的印象。
导数和积分的定义都是一个极限；微分是导数的线性部分；定积分是一个和式极限，变上限是定积分变化而来的函数，不定积分的中心是牛顿莱布尼兹公式，把积分和求导联系了起来。

Answer 3

有点复杂，还得靠自己理解