Question

线性代数，矩阵，谢谢

Answer 1

第（1）题，利用伴随矩阵的定义，可以知道其与代数余子式的关系
A*中，第i行，第j列的元素，是Aji
A*转置后，第i行，第j列的元素，是Aij
而AT的第i行，第j列的元素，的代数余子式是Aji
因此（AT）*的第i行，第j列的元素，是Aij
由于i、j的任意性，得知（AT）*= (A*)T

第（2）题
A⁻¹=A*/|A|【式子1】
也即A*=|A| A⁻¹【式子2】
因此(A*)⁻¹ = A/|A|
而（A⁻¹）*=|A⁻¹| A【根据式子2，A替换为A⁻¹得到】
=A/|A|
=(A*)⁻¹

第（3）题
[（A⁻¹）T]⁻¹= [（A*/|A|）T]⁻¹【根据式子1】
=[（A*）T/|A|]⁻¹
=|A|[（A*）T]⁻¹
注意，这里与题目差一个|A|系数，可能题目有误

第（4）题

(kA)*=|kA| (kA)⁻¹【根据式子2】
=kⁿ|A|A⁻¹/k
=kⁿ⁻¹|A|A⁻¹
=kⁿ⁻¹A*

第（5）题
(A*)*=|A*| (A*)⁻¹【根据式子2】
=||A|A⁻¹| (|A|A⁻¹)⁻¹
=|A| ⁿ|A⁻¹| A/|A|
=|A| ⁿ/|A| A/|A|
=|A| ⁿ⁻²A

第（6）题

(AB)*=|AB|(AB)⁻¹【根据式子2】
=|A||B|B⁻¹A⁻¹
=|B|B⁻¹|A|A⁻¹
=（|B|B⁻¹）（|A|A⁻¹）
=B*A*